学习方法论速查手册

汉字大多由「偏旁 + 部件」拼成。偏旁管意思，另一半常常管读音。抓住这一点，认字速度能翻好几倍。

「青字家族」：清（氵，水清）· 晴（日，天晴）· 请（讠，说话）· 情（忄，心情）· 蜻（虫，蜻蜓）· 睛（目，眼睛）。
意思全靠左边偏旁，读音全靠右边「青」。

读音只是接近，不是完全一样。「清 qīng」和「情 qíng」声调不同，「猜 cāi」连声母都变了。偏旁猜意思很准，猜读音只能当参考，拿不准要查字典。

在一个字上加一笔或减一笔，就变成另一个字。这是低年级最常考的思维题。

做「加一笔」题时要有顺序地试：先在上面加、再在下面加、再在左右加、最后在里面加。乱试一定会漏。「日」能加出 6 个字，漏掉一半是最常见的失分。

「这句话好在哪里」——三步答，每步一分。只夸「写得生动」一分都没有。

例句　「小水珠在荷叶上滚来滚去，像一颗颗调皮的珍珠。」

把谁、做了什么、结果怎样串成一两句话。写得长反而扣分——这题考的是取舍。

《普罗米修斯》（四上第四单元）

看到 98、99、102 这种数，先把它当成 100 来算，再把多算或少算的补回来。

减法那两行是重灾区。减 98 当成减 100，是多减了，必须 +2。方向记反是这类题唯一的失分点。

有八种乘法可以不用列竖式，直接口算出来。

头同尾合十有使用条件：两个两位数必须十位相同且个位相加正好等于 10，不满足就不能用。后两位不足两位一定要补 0（09 不能写成 9）。

除以 5、25、125 很难算。先乘上一个数变成除以整十整百，就好算了。

别把方向弄反了——除以 5 是乘 2，不是除以 2。

两个数都接近 100 时，先看它们各差 100 多少，几步就能算出来。

97 × 96：97 差 3，96 差 4
前两位：97 − 4 = 93（用 96 − 3 也一样，结果都是 93）
后两位：3 × 4 = 12
答案 9312　（竖式验算：97×96 = 9312 ✓）

再试一个：88 × 91 → 差 12 和 9 → 前两位 88 − 9 = 79，后两位 12 × 9 = 108
后两位超过两位了，多出来的 1 要进到前面：79 + 1 = 80 → 8008 ✓

后两位只能占两位。算出 108 这种三位数，要把多的进到前面去。

两个数一样地一大一小围着中间某个整数时，用「中间数的平方 减去 差的平方」。

19 × 21：中间数 20，各差 1 → 20×20 − 1×1 = 400 − 1 = 399
48 × 52：中间数 50，各差 2 → 50×50 − 2×2 = 2500 − 4 = 2496
97 × 103：中间数 100，各差 3 → 10000 − 9 = 9991

两边必须差得一样多。19×22 就不能用（一个差 1 一个差 2）。

比两个分数谁大，不用通分——交叉乘一下，谁乘出来大谁就大。

比较 3/7 和 4/9：
3 × 9 = 27（这个乘积属于 3/7）　　4 × 7 = 28（属于 4/9）
27 < 28 → 3/7 < 4/9
验一下：3/7 ≈ 0.4286，4/9 ≈ 0.4444 ✓

乘出来的数要跟对分数：左边分子乘右边分母，这个积代表左边那个分数。跟错了结论就反了。

把每个数的各位数字反复相加，加到只剩一位。算式两边这个「一位数」对不上，说明一定算错了。

检查 234 + 567 = 801 对不对：
234 → 2+3+4 = 9　　567 → 5+6+7 = 18 → 1+8 = 9
两边相加：9 + 9 = 18 → 1+8 = 9
答案 801 → 8+0+1 = 9　两边都是 9，通过 ✓

再检查 37 × 48 = 1776：
37 → 10 → 1　　48 → 12 → 3　　1 × 3 = 3
1776 → 1+7+7+6 = 21 → 3　都是 3，通过 ✓

它只能查出「错了」，不能证明「对了」。如果你把 801 写成 810，数字根还是 9，照样通过。
但绝大多数计算错误都会被它抓到，花 5 秒很值。

分配律不只是把括号拆开。真正厉害的是反过来用——把散开的算式合起来，一步算完。

隐藏的公因数　25×37 + 25×62 + 25 = 25×(37+62+1) = 25×100 = 2500
最后那个孤零零的 25，其实是 25×1——这一步是这类题的关键。

一串数，相邻两个数的差都一样，这叫等差数列。求和不用一个个加，有公式。

项数最容易算错，别忘了 +1。「(末−首)÷公差」算出来的是间隔数，间隔比项数少 1——和植树问题是同一个道理。

有些分数加法，把每个分数拆成两个分数相减，中间的部分会互相抵消，只剩头尾两项。

1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + 1/(4×5)
拆开 → (1/1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + (1/4 − 1/5)
中间的 −1/2 +1/2、−1/3 +1/3、−1/4 +1/4 全部抵消
只剩 1 − 1/5 = 4/5

分母差不是 1 的时候要先调整。比如 1/(1×3) + 1/(3×5) + …，分母相差 2，裂项后要再乘 1/2：1/(1×3) = 1/2 × (1/1 − 1/3)。忘了乘这个 1/2 是最常见的错。

无限循环小数其实都能写成分数。有一套现成的口诀，不用列方程。

要背的几个常用值：1/3 = 0.333…　2/3 = 0.666…　1/6 = 0.1666…　1/7 = 0.142857…　1/9 = 0.111…　1/11 = 0.0909…
考试里 1/7 的循环节「142857」出现频率极高，直接背下来。

不用真的去除，看几眼就知道一个数能不能被 2、3、4、5… 整除。

判断 6 的倍数要两个条件都满足——很多人只查了数字和，忘了还得是偶数。

任何一个合数，都能拆成几个质数相乘。拆完以后，能一眼算出它一共有几个因数。

72 = 2³ × 3²
约数个数 = (3+1) × (2+1) = 4 × 3 = 12 个
验证：72 的约数是 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72 —— 正好 12 个 ✓

指数要加 1再相乘，不是直接相乘。2³×3² 的约数个数是 4×3=12，不是 3×2=6。

「除以几余几」这种题，先看几个余数之间有没有共同点，一下子就能简化。

余同　除以 5 余 3、除以 7 余 3、除以 9 余 3
→ 这个数 − 3 能被 5、7、9 整除 → 是 [5,7,9]=315 的倍数 → 数 = 315k + 3 → 最小三位数 318

差同　除以 3 余 2、除以 5 余 4、除以 7 余 6（都差 1）
→ 这个数 + 1 能被 3、5、7 整除 → 数 = 105k − 1 → 最小 104

都不同　除以 3 余 2、除以 5 余 3、除以 7 余 2
→ 「除以 3 余 2」和「除以 7 余 2」余数相同 → 合并成「除以 21 余 2」
→ 这样的数：2、23、44、65…… 再筛「除以 5 余 3」→ 23
→ 下一个 = 23 + [3,5,7] = 23 + 105 = 128

找到一个答案后，后面每隔「所有除数的最小公倍数」就有一个。问「第二小」「最大的三位数」时要用这个周期去推，不能重新枚举。

只看「单数还是双数」，就能判断某件事可不可能发生。这是竞赛里最省力的一招。

例 1　1、2、3、…、9 这九个数，能不能分成三组，每组三个数、每组的和都是偶数？
九个数的总和 = 1+2+…+9 = 45，是奇数。
如果三组的和都是偶数，总和 = 偶+偶+偶 = 偶数，和 45 矛盾 → 不可能。

例 2　桌上有 9 个杯子全部杯口朝上，每次同时翻 2 个，能不能全部变成朝下？
每翻一次，朝上的杯子数变化 +2、0 或 −2——奇偶性永远不变。
开始朝上 9 个（奇数），目标朝上 0 个（偶数）→ 永远做不到。

奇偶分析只能证明「不可能」。如果奇偶性对得上，不代表一定能做到——还得真的构造出一个例子来。

一个多位数可以拆成「几个百 + 几个十 + 几个一」。拆开以后，数字谜就变成普通算式了。

经典结论（背下来）
① 一个两位数，交换十位和个位，新数与原数的差，一定是 9 的倍数。
　 (10b+a) − (10a+b) = 9(b−a)
② 一个两位数，交换后与原数的和，一定是 11 的倍数。
　 (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b)

用一下　一个两位数，交换数字后比原数大 36，且两个数字之和是 10。求原数。
由 ① ：9(b−a) = 36 → b−a = 4；又 a+b = 10
→ b = 7、a = 3 → 原数是 37　（验：73 − 37 = 36 ✓，3+7=10 ✓）

拆开后每个数字都有范围：最高位不能是 0，每一位都在 0~9 之间。求出答案要回头检查是否越界。

一个数能写成「某个整数乘它自己」，就叫完全平方数。它有几个很好认的特征。

三个识别特征
① 末位只可能是 0、1、4、5、6、9。末位是 2、3、7、8 的一定不是平方数。
② 分解质因数后，每个质因数的指数都是偶数。36 = 2²×3² ✓；72 = 2³×3² ✗（3 是奇数）
③ 约数个数一定是奇数（其他数都是偶数个）。

用一下　72 最少乘几，能变成完全平方数？
72 = 2³ × 3²，2 的指数 3 是奇数 → 再乘一个 2 变成 2⁴×3² = 144 = 12² ✓　答：2

把题目里的数量画成一条条线段，长的表示多、短的表示少。画出来，关系就看见了。

例　小明和小红一共有 24 张卡片，小明是小红的 3 倍。各有多少张？
画图：小红 ▭（1 段）　小明 ▭▭▭（3 段）　总共 4 段 = 24
一眼看出：1 段 = 24 ÷ 4 = 6 → 小红 6 张，小明 18 张。

画图要按比例——3 倍就画 3 段一样长的，不能随手长长短短。画歪了反而误导自己。

已知两个数的「和、差、倍数」中的两个，求这两个数。

移多补少是和差问题的近亲：左 7 右 3 要变成一样多，只移动「差的一半」——移 2 个，不是移 4 个。因为移一个，这边少一个、那边多一个，差变化了 2。

两个人的年龄差永远不变，但倍数年年在变。抓住这个不变的东西就好办了。

例　今年爸爸 35 岁，儿子 5 岁。几年后爸爸的年龄是儿子的 3 倍？
年龄差 = 30（永远是 30）→ 那时儿子 = 30 ÷ (3−1) = 15 岁 → 还要 15 − 5 = 10 年。
验证：10 年后爸爸 45、儿子 15，45 = 3×15 ✓

「几年前」的题，算出来的年数要往回减；如果算出的「那时年龄」比现在还大，说明是几年后不是几年前，要重新读题。

同一堆东西，用两种分法分：一种分完有剩，一种分完不够。从这一多一少里，能算出有多少人、多少东西。

情况	份数怎么算
一次多、一次少（一盈一亏）	(盈 + 亏) ÷ 两次每份之差
两次都多（双盈）	(大盈 − 小盈) ÷ 两次每份之差
两次都少（双亏）	(大亏 − 小亏) ÷ 两次每份之差

先判断是盈还是亏，判断错了公式就用反了。另外「一盈一亏用加、两盈或两亏用减」，这个也别记混。

题目从头讲到尾，只告诉你最后剩多少。那就从最后往回走，每一步都反着算。

例　小明有一些糖。第一天吃掉一半多 1 颗，第二天吃掉剩下的一半多 1 颗，第三天又吃掉再剩下的一半多 1 颗，最后剩 1 颗。原来有多少？
从后往前：
第三天吃前 = (1 + 1) × 2 = 4　→　第二天吃前 = (4 + 1) × 2 = 10　→　第一天吃前 = (10 + 1) × 2 = 22 颗

做完一定要正着走一遍验算：22 → 吃 12 剩 10 ✓ → 吃 6 剩 4 ✓ → 吃 3 剩 1 ✓。倒推题验算只要 20 秒，必做。

在一条线上每隔一段距离放一个东西，东西的个数和间隔的个数不一样多。差几，要看两头放不放。

同一个道理的四类题
排队　8 人排一排，中间空隙 = 8 − 1 = 7 个
锯木头　锯成 n 段要锯 n − 1 次（锯 3 段锯 2 次，锯 5 段锯 4 次）
爬楼梯　1 楼到 3 楼走了 2 层。1→3 楼 16 级 ⇒ 每层 8 级 ⇒ 1→5 楼走 4 层 = 32 级
敲钟　敲 4 下用 6 秒（有 3 个间隔），敲 7 下用几秒？→ 每个间隔 2 秒，6 个间隔 = 12 秒

爬楼梯和敲钟是重灾区。1 楼到 5 楼是 4 层不是 5 层；敲 7 下是 6 个间隔不是 7 个。记住：「层数 = 楼层号 − 1」「间隔数 = 次数 − 1」。

把人或棋子排成一个正方形，问最外圈有多少、一共有多少。

公式　实心方阵总数 = 每边数 × 每边数
最外层人数 = 每边数 × 4 − 4　｜　相邻两层相差 8 人
空心方阵（共 n 层）总数 = (最外层每边数 − n) × n × 4

例　实心方阵最外层 32 枚 → 每边 = (32+4)÷4 = 9 → 总数 = 9×9 = 81 枚

一组东西不断重复出现。问第 100 个是什么，只要看 100 除以「一组有几个」余几。

珠子按「红红黄蓝蓝蓝」重复，第 2026 颗是什么颜色？
一组有 6 个　2026 ÷ 6 = 337 …… 4　→ 一组里第 4 个是蓝色。

余数是 0 的时候，对应的是一组里的最后一个，不是第 0 个。
上题若问第 2022 颗：2022 ÷ 6 = 337 余 0 → 对应第 6 个（蓝色）。这是周期题唯一的坑。

两个人一起动。面对面走就把速度加起来，一前一后追就把速度减掉。

类型	公式	怎么认
基本	路程 = 速度 × 时间	—
相遇	路程和 = 速度和 × 时间	面对面，越走越近
追及	路程差 = 速度差 × 时间	同方向，后面追前面
背向	路程和 = 速度和 × 时间	背对背，越走越远

第 (2) 问是经典陷阱：以为「客车到了，货车也到了」而答 0。两车速度不同，到达时间当然不同——必须分别算。

火车自己有长度。它走过的路，要算上自己的车身。

看清问的是「完全通过」（加车长）还是「完全在桥上」（减车长）。一字之差，答案完全不同。

船在河里走，顺着水流会被推快，逆着水流会被拖慢。

例　一条船顺水行 120 千米用 4 小时，逆水行同样的路用 6 小时。求船速和水速。
顺水速 = 120 ÷ 4 = 30 千米/时　逆水速 = 120 ÷ 6 = 20 千米/时
船速 = (30+20) ÷ 2 = 25 千米/时　水速 = (30−20) ÷ 2 = 5 千米/时

漂流物（木头、竹排）没有自己的速度，它的速度就等于水速。这是常考的小陷阱。

在圆形跑道上跑，或者在两地之间来回跑，相遇会发生很多次。关键是看两人一共跑了多少路。

例 1（环形）　跑道 400 米，甲 6 米/秒、乙 4 米/秒，同地出发。
反向：合跑一圈相遇 → 400 ÷ (6+4) = 40 秒相遇一次
同向：甲比乙多跑一圈才追上 → 400 ÷ (6−4) = 200 秒追上一次

例 2（往返）　甲乙两地 100 米，两人相向而行，速度和 10 米/秒。第 3 次相遇时一共跑了多久？
第 1 次：合跑 1 个全程 = 100 米
第 2、3 次：各再合跑 2 个全程
第 3 次共合跑 1 + 2 + 2 = 5 个全程 = 500 米 → 500 ÷ 10 = 50 秒

「第几次相遇」和「第几次追上」公式不一样，别混。反向看和，同向看差。

把「一件工作的总量」看成 1，那么「一天能做多少」就是 1 ÷ 天数。

例　一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成。两人合作几天完成？
甲每天做 1/10，乙每天做 1/15
合起来每天做 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6
所以合作 1 ÷ 1/6 = 6 天完成。

糖水有多甜，看的是糖占糖水的几分之几。加水糖不变，加糖水不变——抓住那个不变的量。

例　有含盐 20% 的盐水 50 克，要加多少克水才能变成含盐 10% 的盐水？
盐的重量不变 = 50 × 20% = 10 克
变成 10% 后，盐水总重 = 10 ÷ 10% = 100 克
要加的水 = 100 − 50 = 50 克

浓度不能直接相加或平均。20% 的盐水和 10% 的盐水混在一起，浓度不是 15%——要看两边各有多少克。必须先算盐的总重和盐水的总重，再相除。

进价是买进来花的钱，售价是卖出去收的钱，多出来的部分就是利润。

例　一件商品进价 80 元，标价 120 元，打八折出售。利润率是多少？
售价 = 120 × 0.8 = 96 元
利润 = 96 − 80 = 16 元
利润率 = 16 ÷ 80 = 20%

利润率是除以「进价」，不是除以「售价」——这是最高频的错。
另外「打八折」是乘 0.8，不是减 20%（虽然结果一样，但遇到「先涨价再打折」就会绕晕，一律用乘）。

草一边被牛吃、一边还在长。要先算出草每天长多少，才能算清楚。

一片草地，27 头牛 6 天吃完，23 头牛 9 天吃完。21 头牛几天吃完？
先算两组的「牛×天」：27×6 = 162，23×9 = 207
① 每天新长的草 = (207 − 162) ÷ (9 − 6) = 45 ÷ 3 = 15（相当于 15 头牛一天吃的量）
② 原有的草 = 162 − 15×6 = 162 − 90 = 72（相当于 72 头牛一天吃的量）
③ 21 头牛里，有 15 头正好吃掉新长的，剩下 21 − 15 = 6 头在吃原有的草
　 所以 72 ÷ 6 = 12 天吃完。

分数应用题的全部难点，就是搞清楚「谁的几分之几」——那个「谁」就是单位「1」。

例 1　一本书 120 页，已经看了 2/5，看了多少页？
「的」前面是「这本书」→ 单位 1 = 120（已知）→ 用乘：120 × 2/5 = 48 页

例 2　一本书看了 48 页，正好是全书的 2/5，全书多少页？
单位 1 = 全书（未知）→ 用除：48 ÷ 2/5 = 120 页

例 3　甲比乙多 1/4，乙是 40，甲是多少？
「比」后面是乙 → 单位 1 = 乙 = 40 → 40 × (1 + 1/4) = 50

「甲比乙多 1/4」和「乙比甲少 1/4」不是一回事——单位 1 换了！
前者：甲 = 乙 × 5/4；后者：乙 = 甲 × 3/4。看到「比」就要重新找单位 1。

比是两个数相除的另一种写法。3 : 2 就是「一个 3 份、一个 2 份」。

按比分配　把 60 个苹果按 3 : 2 分给甲乙。
总份数 = 3 + 2 = 5，一份 = 60 ÷ 5 = 12 → 甲 36 个、乙 24 个

路程一定时的重要结论（常考）
路程相同时，速度比和时间比正好倒过来。
甲乙速度比 3 : 2 → 走同样的路，时间比是 2 : 3。

比是「份数关系」，不是具体数量。3 : 2 可能是 3 个和 2 个，也可能是 30 个和 20 个。
做题时必须先求出「一份是多少」，才能算出具体数。

应用题最难的是倒着推。方程可以顺着题目一句一句写下来，脑子里不用记中间结果。

例　买苹果和梨一共 8 千克。苹果每千克 6 元，梨每千克 4 元，一共花了 42 元。各买了多少千克？
设苹果 x 千克 → 表：梨就是 (8 − x) 千克
等：苹果的钱 + 梨的钱 = 42　→　6x + 4(8 − x) = 42
解：6x + 32 − 4x = 42 →　2x = 10 →　x = 5
苹果 5 千克，梨 8 − 5 = 3 千克
验：5 + 3 = 8 ✓　6×5 + 4×3 = 30 + 12 = 42 ✓

假设法、逆推、盈亏、年龄——凡是要倒着想的都能换成方程。但也有几类不该用。

别走极端。刚学会方程的孩子容易「什么题都设 x」，简单的和差倍也设，反而变慢。
判断标准就一句：这题需要倒着想吗？需要 → 方程；不需要 → 原方法。

两个三角形，只要底一样长、高一样高，面积就一定相等——不管形状歪成什么样。

怎么用　求阴影面积时，如果这块形状很怪，就找一个和它等底等高的规则三角形，用那个的面积代替。

另一条重要结论　高相同时，面积比 = 底的比。
三角形被一条线分成两块，底分成 2 : 3，那两块的面积比也是 2 : 3。

「高」必须是垂直的那条线，不是斜边。题目给了斜边长度，往往是干扰项。

一个长方形被一横一竖切成四块，对角两块的面积乘起来一定相等。

按图中标记：a × d = b × c，同时 a : b = c : d

例　三块面积是 12（左上）、20（右上）、15（左下），求右下。
12 : 20 = 15 : ? → ? = 20 × 15 ÷ 12 = 25
验算：12 × 25 = 300 = 20 × 15 ✓

遇到奇形怪状的图形，想办法切开、补上、或者挪一挪，变成规则图形再算。

常见套路
· 正方形里挖一个圆 → 正方形面积 − 圆面积
· 两个半圆拼起来 → 就是一个整圆
· 「叶子形」（两个四分之一圆重叠）→ 2 × 四分之一圆 − 正方形
· 楼梯形 → 把台阶平移成一个大长方形

先看有没有能「挪」的。很多看起来要复杂计算的图，挪一块就变成长方形了，一步都不用算。做题前先花 10 秒观察，往往能省 5 分钟。

把一个大方块切开、或者把小方块堆起来，表面积会变，但体积不变。

例 1　一个棱长 4 厘米的正方体，切成两个长方体，表面积增加多少？
切一刀多出 2 个 4×4 的面 → 增加 2 × 16 = 32 平方厘米

例 2　把 3 个棱长 2 的正方体粘成一排，表面积是多少？
单个表面积 6×4 = 24，3 个共 72；粘 2 次，每次少 2 个面 → 少 2×2×4 = 16
表面积 = 72 − 16 = 56

数小正方体个数时，要一层一层数，还要留意被挡住看不见的。从图上只能看到前面，后面藏着的也要算进去。

数一个图里有多少个三角形、长方形。必须按顺序数，乱数一定漏。

图形	公式	验证
一条线上 n 个点，数线段	n × (n−1) ÷ 2	4 点 → 4×3÷2 = 6 条
三角形底边分成 n 段	n × (n+1) ÷ 2	4 段 → 4×5÷2 = 10 个
一排 n 个小长方形	n × (n+1) ÷ 2	3 个 → 3×4÷2 = 6 个
横 m 条线 × 纵 n 条线	横里挑 2 条 × 纵里挑 2 条	3×3 线 → 3 × 3 = 9 个长方形

数图形唯一的失分原因就是「乱数」。一定要先定好顺序（按大小、或按左到右），再一个个数。

一组图形不断重复，或者每次按固定方式增加。找出「一组是什么」或「每次多几个」。

重复型　▲●●▲●●▲●●　一组是「▲●●」（3 个）

增长型　用小棒摆三角形：1 个用 3 根，2 个用 5 根，3 个用 7 根……
写成数列 3、5、7、9…，每次多 2 根 → 第 n 个用 2n + 1 根
第 20 个 = 2×20 + 1 = 41 根

增长型题目一定要多写几项再找规律，只看前两项容易看错。写到第 4、5 项，规律就稳了。

算「一共有多少种方法」时，分类用加法，分步用乘法。

加法　从家到学校，坐车 3 路、走路 2 条 → 共 3 + 2 = 5 种（坐车就到了，不用再走路）
乘法　3 件上衣、4 条裤子搭配 → 共 3 × 4 = 12 种（只穿上衣不行，还得配裤子）

混合例　用 1 元、2 元、5 元付 10 元，有几种付法？
按 5 元的张数分类：2 张 → 1 种；1 张（余 5 元）→ 3 种；0 张（余 10 元）→ 6 种
共 1 + 3 + 6 = 10 种

从几个东西里挑出来：讲究顺序的叫排列，不讲顺序的叫组合。

排列（讲顺序）　从 5 人中选 3 人排成一队：
第一位 5 种选法 × 第二位 4 种 × 第三位 3 种 = 5×4×3 = 60 种

组合（不讲顺序）　从 5 人中选 3 人组成小组：
先按排列算 60 种，但「甲乙丙」和「丙乙甲」是同一组，被重复算了 3×2×1 = 6 次
→ 60 ÷ 6 = 10 种

最常考的两个模型
· 握手 / 单循环比赛：n 个人两两握手 = n×(n−1)÷2 次（不讲顺序）
· 数线段：n 个点两两连线 = n×(n−1)÷2 条（和握手是同一个模型）

怎么判断讲不讲顺序：换个位置算不算新的一种？
排队、选正副班长 → 换位置就不一样 → 排列
选代表、握手、连线 → 换位置还是那两个人 → 组合

两个班的人加起来，两个班都参加的人被算了两次，要减掉一次。

两个集合　A 或 B 的个数 = A + B − A 和 B 都有的
三个集合　A+B+C − (AB) − (BC) − (AC) + (ABC)

例　1~100 中，既不能被 3 整除也不能被 5 整除的有几个？
被 3 整除：100÷3 = 33 个　被 5 整除：100÷5 = 20 个
重叠（同时被 3 和 5 整除，即被 15 整除）：100÷15 = 6 个
被 3 或 5 整除 = 33 + 20 − 6 = 47 → 都不能整除 = 100 − 47 = 53 个

要「保证」一定发生某件事，就先想最倒霉的情况，再多拿一个。

基本形式　把 n + 1 个东西放进 n 个抽屉，至少有一个抽屉里有 2 个。
常用公式　要保证有 k 个同类 → 最少要取 (k − 1) × 类数 + 1

例　红黄蓝三色球各 10 个，至少摸几个才能保证有 4 个同色？
最倒霉：每种颜色都摸到 3 个 = 3 × 3 = 9 个，还是没有 4 个同色；
再摸 1 个，不管什么颜色，必然有一种达到 4 个 → 10 个

「保证」和「可能」完全不同！
问「至少摸几个可能有 4 个同色」→ 答案是 4（运气好一次摸到 4 个同色）
问「至少摸几个保证有 4 个同色」→ 答案是 10
看到「保证」「一定」才用最坏情况法。

在方格图上从一点走到另一点，只能向右和向上走，有几种走法？在每个路口写上「到这里有几种走法」。

上图是 4×3 的方格网，从左下走到右上，答案就是右上角的 35。

标数要从下往上、从左往右依次填，不能跳着填——跳着填会用到还没算出来的数。

一串数或图形，找出它们之间的关系，推出下一个。

题目问「有多少种」而又找不到公式时，就一个一个列出来。关键是要有顺序，不能乱列。

例 1　两个数相加得 8，有几种写法？
按第一个数从小到大：0+8、1+7、2+6、3+5、4+4、5+3、6+2、7+1、8+0 → 9 种

例 2　用 1、2、3 组成没有重复数字的三位数，有几个？
按百位分类：1 开头 → 123、132；2 开头 → 213、231；3 开头 → 312、321 → 6 个

先定一个「分类标准」再列。比如按第一个数从小到大、按最大的数分类、按某样东西的个数分类。没有标准就乱列，一定会漏或重复。

题目里的数太大算不动？先把数字改小，算几个简单的，找出规律，再推回大数。

例　把一张纸对折 10 次，能得到多少层？
直接想 10 次很难。先算小的：
对折 1 次 → 2 层　　对折 2 次 → 4 层　　对折 3 次 → 8 层　　对折 4 次 → 16 层
规律：2、4、8、16… 每次翻倍 → 对折 n 次是 2ⁿ 层
对折 10 次 = 2¹⁰ = 1024 层

例 2　10 个点两两连线有几条？先算：2 点 1 条、3 点 3 条、4 点 6 条、5 点 10 条
→ 1、3、6、10… 正是 1+2+3+… → 10 点 = 1+2+…+9 = 45 条

至少要算出 4 个才能下结论。只算 2、3 个就急着下规律，很容易被巧合骗了。

几个人对应几样东西，给你一堆「不是…」的条件，推出谁是谁。

例　甲、乙、丙分别来自北京、上海、广州。① 甲不是北京人；② 乙既不是北京人，也不是上海人。
第 ② 句限制最多 → 乙只能是广州人；再看 ①，甲不是北京、广州被乙占了 → 甲是上海人；剩下 丙是北京人。

别从第一句开始推——第一句往往限制最弱。先扫一遍，找信息量最大的那句作为突破口。

求「最大是多少」「最小是多少」。核心是先用条件把范围缩小，再去比大小。

例　用 1、2、3、4、5 各一次组成五位数，要是 6 的倍数，最大是多少？
① 数字和 1+2+3+4+5 = 15 能被 3 整除 → 怎么排都是 3 的倍数
② 6 的倍数还必须是偶数 → 个位只能是 2 或 4
③ 个位取 2 时最大 54312；个位取 4 时最大 53214 → 取较大者 = 54312

把几个数填进圈里，让每条边（每行、每列）上的数加起来一样大。

三角形数阵的核心等式　每边之和 × 3 = 所有数之和 + 三个角上的数之和

例　把 1~6 填进三角形（3 个角 + 3 条边中点），使每边三数之和都是 9。
总和 = 1+2+…+6 = 21，设三个角之和为 S
9 × 3 = 21 + S → S = 6 → 三个角只能是 1、2、3
再配边中点：边(1,2) 需补 9−3 = 6；边(2,3) 需补 9−5 = 4；边(3,1) 需补 9−4 = 5
→ 中点依次是 6、4、5　（验：1+6+2=9、2+4+3=9、3+5+1=9 ✓）

先用等式算出角上的数，再一条边一条边配中点。直接乱试会陷进去出不来。

题目临时发明一个符号，告诉你它怎么算。你照着代进去就行。

例　规定 a △ b = a × b − a − b，求 (5 △ 3) △ 2。
先算括号：5 △ 3 = 5×3 − 5 − 3 = 7
再算外层：7 △ 2 = 7×2 − 7 − 2 = 5

代错位置是唯一的坑：定义里的 a 是前面那个数，b 是后面那个数，顺序不能换——新运算通常不满足交换律。

读完题目不知道用什么方法？在下表里找题目中出现的关键词，就知道该翻哪张卡片了。

任何一道题想不出来，按这四步走一遍，绝大多数都能打开。

142857 乘 1 到 6，得到的还是这六个数字，只是转了个圈——像走马灯一样。

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
你发现了吗？每一行都是同样的六个数字 1、4、2、8、5、7，只是开头换了一个，顺序一点没变。

更妙的是：142857 × 7 = 999999（一下子全变成 9 了）
还有：142 + 857 = 999，14 + 28 + 57 = 99

随便写一个四位数（数字不能全一样），按一个规则反复算，最多七步，一定掉进 6174，然后再也出不来。

从 3524 开始：
5432 − 2345 = 3087
8730 − 0378 = 8352
8532 − 2358 = 6174　← 到了！
再算一次试试：7641 − 1467 = 6174　← 还是它，出不来了

换个数你自己试：2005、9831、1000…… 不管从哪个开始，最多七步一定到 6174。

四个数字不能全一样（比如 1111），那样第一步就得 0，卡住了。
不够四位的要前面补 0（比如 378 要写成 0378）。

让别人心里想一个三位数，按几步算下来，你不用问就能说出答案是 1089。

想 731：
731 − 137 = 594
594 + 495 = 1089

换成 842：842 − 248 = 594 → 594 + 495 = 1089
换成 952：952 − 259 = 693 → 693 + 396 = 1089
不管想哪个数，最后都是 1089。

如果百位和个位只差 1（比如 321），第二步会得到 099，要补足三位再倒写才对。

把任意一个三位数重复写两遍变成六位数，它一定能同时被 7、11、13 整除。

123123：÷7 = 17589 ✓　÷11 = 11193 ✓　÷13 = 9471 ✓
456456：÷7 = 65208 ✓　÷11 = 41496 ✓　÷13 = 35112 ✓
随便换一个三位数试试，全都成立。

更妙的是：123123 ÷ 7 ÷ 11 ÷ 13 = 123——绕一圈又回到了原来那个数。

从 1 开始，把连着的单数加起来，永远是一个正方形的面积。

1 = 1 = 1×1
1+3 = 4 = 2×2
1+3+5 = 9 = 3×3
1+3+5+7 = 16 = 4×4
1+3+5+7+9 = 25 = 5×5

加了几个单数，就是几乘几。

必须从 1 开始、一个不漏。从 3 开始加，或者跳着加，就不成立了。

把 1 到 9 填进九个格子，让每一行、每一列、每条斜线加起来都是 15。

横着看：2+7+6=15　9+5+1=15　4+3+8=15
竖着看：2+9+4=15　7+5+3=15　6+1+8=15
斜着看：2+5+8=15　6+5+4=15
八个方向，全是 15。

笔不离纸、每条线只画一遍。能不能画成，只要数一数「奇点」有几个。

信封形（一个长方形 + 上面一个三角形顶 + 两条对角线）：数一数有 2 个奇点 → 能画成，从一个奇点起笔。

著名的「七桥问题」：一条河上有七座桥，能不能每座桥只走一遍全部走完？
数一数，有 4 个奇点 → 不可能。三百年前有人想破头，后来数学家一数奇点就知道了。

三根柱子，把一摞盘子从左边搬到右边，大的不能压在小的上面。几层要搬几次，有公式。

3 层：2³ − 1 = 8 − 1 = 7 次
8 层：2⁸ − 1 = 256 − 1 = 255 次
20 层：2²⁰ − 1 = 1048575 次（一秒搬一次，也要搬十二天）

一年最多 366 天。如果有 367 个人，不用问也知道一定有两个人生日撞在同一天。

想象有 366 个抽屉（一年的每一天各一个），367 个人往里放。
就算前 366 个人每人占一个抽屉、一个都不撞，第 367 个人怎么放都会和别人挤在一起。

再想想：13 个人里一定有两个人是同一个月生的（一年 12 个月）。
抓 5 只袜子（只有黑白两色），一定有两只同色（2+1=3 只就够了）。

它只说「一定有」，不说是哪两个人。想知道是谁，还得一个个问。